3. Supongamos ahora que en el interior del cuerpo K existen fibras o hilos H que tengan en total una longitud L_H. Se quiere evaluar esta longitud por unidad de volumen de K, o sea evaluar el cociente L_H / V_K. Para ello, cortamos K con un plano E y contamos el número de puntos N_H de intersección del mismo con H (figura 7).
   
   Tomando, como siempre, una densidad para planos E proporcional al área de Ia sección de E con K, la esperanza matemática del cociente entre el número de puntos de intersección de E con H y el área de la sección de E con K, resulta: (1/2) (L_H / V_K). Por consiguiente, se puede escribir: L_v = 2P_A, siendo P_A el número medio de puntos de intersección de E con H por unidad de área de la intersección de E con K.

Un problema análogo al de la estereología, aunque mucho más complicado, es el de la tomografía computada. Supongamos, como antes, un cuerpo convexo K, dentro del cual hay una masa de densidad variable dada por una función f(x,y,z), o sea que varía para cada punto de coordenadas (x,y,z). Aquí f (x,y,z) representa la densidad de la sustancia en el interior de K, en el punto de coordenadas (x,y,z) (figura 8).

Supongamos que K sea atravesado por una radiación cualquiera (rayos X, láser), cuya trayectoria sea una recta G, y de la cual se pueda medir su intensidad de entrada y de salida. La diferencia entre estas intensidades será la absorción del rayo por la materia en el interior de K y dependerá de la recta G, por donde el rayo se propaga. Por consiguiente, es posible medir experimentalmente esta función de G que llamaremos F(G). Pero, ¿cómo determinar f(x,y,z) a partir de F(G), que se supone conocida para todas las rectas que atraviesan K? El primero que consideró esta cuestión fue J. Radon (1887-1956). En 1917, este matemático alemán encontró una fórmula para calcular f(x,y,z) a partir de F(G), conocida como "transformada de Radon" .

Al principio, este problema fue encarado como puramente matemático y dio lugar a importantes especulaciones teóricas, sin que se pensase en posibles aplicaciones prácticas. Posteriormente el problema se encaró de dos maneras. La primera, esencialmente teórica, consistió en una generalización a cuerpos de más de tres dimensiones y la sección de los mismos por variedades lineales o no lineales de cualquier dimensión. La idea fue muy fructífera y dio lugar a importantes trabajos, principalmente de Gelfand y Helgason, con los cuales se inició una nueva rama de la matemática, llamada también geometría integral, pero que en el fondo y en la forma era muy diferente a la geometría integral en el sentido que le dieran Blaschke y Crofton.

El otro enfoque tendió a una posible utilización práctica de los resultados de Radon. En efecto, si los rayos con que se atraviesa el cuerpo K son rayos X (u otros), cuya diferencia de intensidad de entrada y de salida puede ser medida con suficiente aproximación, tendremos un método para conocer la distribución f(x,y,z) de la materia en el interior de K; es decir, capaz de reconstruir el interior de K a partir de los datos proporcionados por los rayos que lo atraviesan. De esta manera será posible conocer con exactitud el interior de K, con sus posibles anormalidades o patologías.

En 1963, el físico A.M. Cormack indicó la posibilidad práctica de esas mediciones y sus posibles aplicaciones en medicina. Nacía así la llamada tomografía computada. Diez años después, el ingeniero inglés G.N. Hounsfield perfeccionó los dispositivos de Cormack, comenzando así la era comercial de los aparatos de tomografía.

Las imágenes superiores representan tres planos distintos de una misma persona, "seccionada" por la tomografía computada. El estudio de los cortes tranversales de aproximadamente 10 mm puede revelar lesiones de estructuras profundas sin que sea necesario agredir el organismo del paciente. Los diferentes tejidos aparacen en diversas tonalidades: el aire correspondiente a un color oscuro, los huesos son blancos y los tejidos blandos y líquidos adquieren tonalidades grisáceas. La primera imagen muestra un corte que atraviesa las órbitas, revelando detalles del interior del ojo y del nervio óptico, la cavidad nasal y la parte inferior de la cavidad craneana. La segunda imagen representa un corte de alta resolución para el estudio de las pequeñas estructuras del oído. La tercera ofrece un corte del abdomen donde se ven el hígado, los riñones y otras vísceras.

Mientras las radiografías dan solamente una imagen que es una proyección del interior del cuerpo sobre un plano, la tomografía computada reconstruye con precisión el interior del cuerpo, indicando la posición exacta de cada uno de sus puntos en el espacio y la densidad de su materia. Su empleo en la medicina ha sido fundamental para el estudio y diagnóstico de las anormalidades del cerebro y de otras partes del cuerpo humano de difícil acceso por otros medios de observación. Su utilidad ha sido demostrada en otros campos, como la biología molecular y la radioastronomía.

Cormack y Hounsfield recibieron por sus investigaciones el premio Nobel de Medicina en 1979. De haber vivido, ciertamente Radon hubiera participado de este premio, que habrían así compartido un matemático, un físico y un ingeniero.

Cormack y Hounsfield tuvieron que resolver algunos problemas a partir de los resultados teóricos de Radon. Por ejemplo: Radon afirma que se puede conocer f(x,y,z) si se conoce F(G) para "todas" las rectas G. En la práctica solamente podemos tener en cuenta un número finito de rectas (que puede ser grande). Esto lleva a analizar lo que ocurre cuando solamente se conoce F(G) para ese número finito de rectas y la mejor manera de escoger las mismas. Teóricamente, se demuestra que con un número finito de rectas nunca se podrá reconstruir "exactamente" el interior del cuerpo. Se trata entonces de encontrar la aproximación con que puede ser hecha esta reconstrucción y su grado de confiabilidad. Para ello el procedimiento práctico consiste en dividir K en secciones planas y resolver inicialmente el problema sección por sección para, a continuación, integrarlas a todo el cuerpo K (de allí el uso de la palabra "tornografía", derivada de tomos, que en griego significa corte o sección).

Un número grande de rayos paralelos (figura 9) o en abanico (figura 10) pasa por cada sección plana. La dirección de estos rayos varía, por ejemplo, con intervalos de un grado o, en el caso de los rayos en abanico, se hace girar un mismo ángulo el foco del cual parten los rayos.

Si el ángulo de giro es de un grado y para cada dirección (o cada abanico) hay 160 rayos, tendremos en total: 180 x 160 = 28.800 rayos o rectas G, para las cuales se puede conocer F(G). Es decir que, aunque no sea posible medir F(G) para "todas" las rectas, se puede hacer por lo menos para 28.800 rectas -que ya es un número bastante significativo- Por el hecho de haber escogido las rectas uniformemente espaciadas, la matemática ofrece métodos aproximados para aplicar la fórmula de Radon y obtener resultados suficientemente aceptables. Una vez conocida f(x,y,z) para una sección plana, se traslada el objeto K haciéndolo distar un pequeño intervalo de la posición anterior y se repite la operación para una nueva sección plana, y así sucesivamente para varias secciones bien próximas unas de otras.

El problema matemático consiste en hallar f(x,y,z) con la mayor precisión, a partir de los muchos puntos en que se conoce F(G). El problema técnico consiste en medir F(G) a inmediatamente reconstruir f(x,y,z) sobre una pantalla. El primer paso es importante y delicado, ya que es necesario medir diferencias de densidad muy pequeñas (por ejemplo, la densidad de los diferentes tejidos del cerebro humano oscila entre 1,00 g/cm³ y 1,05 g/cm³, y para algunos diagnósticos son necesarias variaciones de densidad del orden de 0,005 g/ cm³). Los dispositivos de medición deben ser de una precisión muy grande, y para reconstruir de inmediato f(x,y,z) a partir de F(G) -o sea a partir de la diferencia de intensidad de los rayos de entrada y de salida del cuerpo- son necesarias computadoras electrónicas muy sofisticadas (que actualmente ya son de uso común).

La estereología y la tomografía computada ilustran bien el proceso de las diferentes etapas en el avance de la ciencia. Originalmente los estudios son motivados por la simple curiosidad de conocer o por encontrar soluciones a los problemas surgidos en actividades extracientíficas (la "pasión" de Buffon por los juegos de azar es un buen ejemplo). Luego, estos resultados obtenidos se revelan aplicables a la solución de problemas prácticos presentados por la técnica: ésta es la etapa de las "aplicaciones" de la ciencia. Posteriormente tales aplicaciones vuelven a presentar problemas de carácter teórico que suscitan nuevamente el interés de los científicos puros, dando origen muchas veces a otros estudios y a teorías exclusivamente especulativas. Así, a través del progreso alternado entre ciencia y técnica, el hombre consigue ampliar paulatinamente su horizonte de conocimientos.