Sin embargo Laplace se equivocó. Un siglo y medio después, estas fórmulas pasaron a ser frecuentemente aplicadas para medir longitudes de curvas sobre preparaciones microscópicas. Dichas longitudes pueden ser calculadas, con suficiente aproximación, de la siguiente forma: sobre un preparado para microscopio se coloca un reticulado rectangular o un conjunto de rectas paralelas equidistantes; seguidamente, se cuenta el número de veces que los lados del reticulado o las paralelas cortan a las curvas cuya longitud se desea medir; finalmente, se gira varias veces el reticulado y se toman los valores medios. A este nivel es más fácil "contar" puntos que "medir" longitudes.

Por otra parte, con las computadoras pueden simularse muchas experiencias aleatorias, que permiten calcular experimentalmente valores medios y deducir de ellos los valores de ciertas magnitudes o constantes. Preparando, por ejemplo, un programa que simule el "problema de la aguja de Buffon" o el "problema de Laplace", basado en tablas de números aleatorios que determinen la posición de la aguja o de la curva, es posible calcular el número p , o cualquier elemento de las fórmulas anteriores, conociendo los otros elementos. Esta es la base del difundido "método de Monte Carlo", que adquirió mucha importancia a partir del momento en que las computadoras pasaron a ser utilizadas para simular experiencias y realizarlas en gran número. El método es aplicado en física nuclear y problemas de difusión de partículas.

En los problemas de Buffon y de Laplace falta aún definir una medida para conjuntos de posiciones de la aguja o de la curva que permita calcular la probabilidad de una uotra de ocupar una posición determinada en el plano. Desde el nacimiento de la matemática han sido medidos conjuntos de puntos (longitudes de curvas, áreas de superficies, volúmenes de cuerpos). Pero a partir de los estudios de Buffon y de Laplace, surgió la necesidad de medir conjuntos de otros elementos geométricos, tales como conjuntos de rectas, de curvas o de figuras congruentes cualesquiera.

El primero en ocuparse de este problema de una manera sistemática fue el inglés M.F. Crofton (1826-1915), quien en 1869 definió una medida para conjuntos de rectas del plano. Posteriormente R. Deltheil (en 1929) y W. Blaschke (en 1936) retomaron estos estudios determinando el modo de medir conjuntos de rectas y planos en el espacio y también conjuntos de variedades en espacios de más dimensiones. Con estas medidas y los cálculos hechos a partir de ellas, nació la geometría integral (nombre que le diera W. Blaschke en su Seminario de la Universidad de Hamburgo, en 1936).

La geometría integral -también llamada, por Kendall y Harding, geometría estocástica (1974)- fue aplicada en diversas áreas de la matemática pura (teoría de los cuerpos convexos) y de la matemática aplicada. Este artículo pretende destacar, principalmente, sus aplicaciones más importantes a dos ramas modernas de la tecnología: la estereología y la tomografía computada.

En 1961, en una reunión de especialistas en diferentes ramas de la ciencia (biología, anatomía, botánica, mineralogía, metalurgia, etc.) realizada en Feldberg (Selva Negra, Alemania) se fundó la Sociedad Internacional de Estereología. Su primer presidente, Hans Elias, profesor de la Universidad de Chicago, definió la estereología como "un conjunto de métodos para la exploración del espacio tridimensional a partir del conocimiento de secciones bidimensionales o de proyecciones sobre el plano; es decir, se trata de una extrapolación del plano al espacio".

Desde aquella fecha, se han realizado ya siete congresos internacionales de estereología (Víena, 1963; Chicago, 1967; Berna, 1971; Washington, 1975; Salzburgo, 1979; Florida, 1983; Caen, 1987) y se han publicado muchos artículos sobre la materia -la mayoría en el Journal of Microscopy-, así como algunos libros: el clásico de E.E. Underwood, Quantitative Stereology, Addison-Wesley, 1970, y el más reciente de R. Coleman, An Introduction to Mathematical Stereology, University of Aarhus, 1979.

A continuación expondremos tres temas clásicos de la estereología.

1. Supongamos un cuerpo K del espacio, que contiene en su interior distintas partículas H distríbuidas al azar, de diferentes formas y tamaños. Si se corta K con un plano E, la intersección será una sección plana en la cual las partículas H determinan ciertas áreas (figura 4).
   
   Imaginemos que K sea una roca y H pedazos de minerales distribuidos al azar dentro de K; o bien que K sea un órgano animal (hígado, riñón, cerebro) y H fibras o cavidades de éste órgano cuyo tamaño se requiere determinar a partir de la sección con planos de prueba E. El problema más sencíllo consiste en averiguar la proporción del volumen de partículas H dentro de K, a partir de la proporción de las áreas de las secciones de H y K por el plano E. Se puede medir experimentalmente la proporción A_A de las áreas en el plano E y, a partir de allí, deducir la proporción V_v entre los volúmenes de las partículas o cavidades H y el volumen del cuerpo K. Suponiendo que el cuerpo sea cortado por un plano al azar, con una ley de probabilidades proporcional al área de su intersección con K, la geometría integral demuestra que la esperanza matemática de A_A es igual a V_v; es decir que A_A es un estimador (insesgado) de V_v, lo que se expresa: A_A = V_v



2. Supongamos ahora que el cuerpo K contenga en su interior ciertas superficies o láminas H de cualquier forma y de área total S_H. Se desea calcular el área de las superficies H por unidad de volumen de K (figura 5). Para ello se puede cortar K con un plano o una recta. Si cortamos K con un plano E, la intersección de E con H será un conjunto de curvas, cuya longitud puede ser medida. La esperanza matemática del cociente entre la longitud de estas curvas planas y el área de la sección de E con K es: (p/4) (S_H/V_k). Es decir que el cociente S_H/V_k (cantidad de área por unidad de volumen K) puede ser obtenido multiplicando por 4/p la proporción entre la longitud de las curvas de la intersección de E con H, par unidad de área de la intersección de E con K (o sea L_A). Simbólicamente: S_v = (4 / p) L_A.
   
   El cociente S_H/V_k también puede ser obtenido cortando el cuerpo K con una recta G y comparando el número de puntos de intersección entre G y las superficies H con la longitud de la cuerda que G determina en K (número de puntos por unidad de longitud), como indica la figura 6.
   
   Tomando como densidad de medida de las rectas deI espacio aquella que es invariante respecto de los movimientos, salvo un factor de proporcionalidad igual a la longitud de la cuerda que la recta determina en K, la esperanza matemática del cociente entre el referido número de puntos de intersección de G con E y la longitud de la cuerda de intersección de G con K resulta: (1/2) S_H/V_k. Por consiguiente, podemos escribir simbólicamente: S_v = 2P_L, donde P_L (como es costumbre en estereología) es igual al número de puntos de intersección de G con H por unidad de longitud de la cuerda de intersección de G con K. Si H está constituido por las superficies de cuerpos convexos y N_L es el número de ellos cortados por la recta G, tenemos por unidad de longitud de la cuerda: N_L = P_L / 2 de donde S_v = 4 N_L.