Para demostrar que se pueden inventar muchos otros juegos de este mismo estilo, Buffon describe el siguiente juego, que desde entonces ha sido reproducido en muchos textos de probabilidades bajo el nombre de "problema de la aguja de Buffon".

Consideremos un piano (que puede ser el piso o una mesa grande) dividido por rectas paralelas a una distancia D. Sobre el plano, se tira al azar una aguja (segmentode recta) de longitud a, no mayor que D (figura 1).Puede ser que la aguja corte alguna de las rectas paralelas o que no corte a ninguna. La probabilidad de que alguna recta paralela sea cortada por la aguja es:

Esta fórmula es demostrada por Buffon de manera directa. Para ello es necesario calcular la medida de las posiciones en que la aguja corta alguna paralela (casos favorables) y dividirla por la de todas las posiciones de la aguja en el plano (casos posibles).

Si se considera la experiencia como un juego de azar, la probabilidad p es el valor de la "puesta" que el jugador debe pagar para recibir, en el caso de ganar, un premio de una unidad. Así, el juego puede ser calificado de "equitativo", puesto que, después de un número grande de jugadas, hay una probabilidad tendiente a la certeza de que tanto el jugador como la banca terminen equilibrados, sin ganar ni perder.

Por ejemplo: si a=D y el premio es de una unidad, el valor de la puesta debe ser p = 2 / p = 0,636. Si se cobra más, el juego sera favorable a la banca; si se cobra menos, al jugador.

Con el "problema de la aguja de Buffon" nace la teoría de las probabilidades geométricas. Como vemos, se trata de un juego de azar cuya solución consiste en "medir" los casos favorables y posibles en lugar de "contarlos" (como ocurre en los juegos discretos como los dados o las cartas). La diferencia entre "medir" y "contar" es lo que distingue a la geometría de la aritmética.

Si en lugar de una aguja (segmento de recta de longitud a) se arroja sobre el plano, en el cual están dibujadas las rectas paralelas a una distancia D, una línea poligonal de longitud total L, y se considers el valor de la variable aleatoria N igual al número de puntos en que la poligonal corta a las paralelas (figura 2) se puede calcular fácilmente que la esperanza matemática o valor medio de N es:

Como toda curva de longitud finita L puede ser considerada el límite de las poligonales inscriptas, resulta que (2) es válida para cualquier curva (como la indicada en la figura 2).

Este resultado también puede ser interpretado como un juego de azar. Sobre un plano dividido por rectas paralelas a una distancia D, se arroja una curva de longitud L y de forma cualquiera (puede ser incluso un hilo flexible). Se acuerda que el jugador recibirá como premio un número de unidades igual al número de puntos en que la curva corte a las paralelas (figura 2, N=4). Para que el juego sea equitativo la puesta debe ser: E (N) = 2L / p   D.

Pierre Simon Laplace (1749-1827), en su monumental Teoría analítica de las probabilidades (1812), generalizó el "problema de la aguja de Buffon". Se tiene un plano dividido en rectángulos de lados D₁ y D₂ ; se tira al azar sobre éste una aguja de longitud a, no mayor que el menor de los lados D₁, D₂ (figura 3). Entonces, la probabilidad de que la aguja corte alguno de los lados de la red de rectángulos es:

Si en lugar de una aguja de longitud a fuera lanzada al azar sobre el plano una curva de longitud L y de forma cualquiera, la esperanza matemática o valor medio del número N de puntos en que la curva corta los lados de la red de rectángulos (en la figura 3, N = 6) será:

Si se toma, por ejemplo, una red de cuadrados D₁ = D₂ = 10 cm y se arroja al azar sobre la misma una curva de longitud L=20 cm, tendremos: E(N)= 8/p  = 2,54. Esto significa que, si decidiéramos que en un juego de azar el jugador recibirá como premio tantas unidades como puntos de intersección resultaran entre la curva y la red de cuadrados, el juego será equitativo cuando el valor de la puesta sea de 2,54 unidades. De cobrarse más, el juego será favorable a la banca; en caso contrario, al jugador.

Si en cualquiera de las experiencias anterires que conducen a las fórmulas (1), (2), (3) ó (4) fuera calculada experimentalmente la probabilidad p o determinado el valor medio E (N) -a través de un número considerable de experiencias-, las fórmulas permitirán calcular cualquier elemento del segundo miembro (por ejemplo, la longitud L de la curva utilizada). Así, en 1812, Laplace observó que "sería posible hacer uso del cálculo de probabilidades para rectificar curvas o cuadrar superficies, pero sin duda los geómetras jamás utilizarán este medio".