Volumen 5 - Nº30

Revista de Divulgación Científica y Tecnológica de la
Asociación Ciencia Hoy

ARTICULO

TAQUIONES

 

"Relojes y reglas de Newton y Einstein"

Para especificar un determinado acontecimiento (o, en la jerga, evento) se necesitan cuatro magnitudes: tres fijan su localización espacial, según un sistema de referencia basado en sendos ejes, y lacuarta precisa su posición en el tiempo. El conjunto de todos los eventos, denominado el espacio-tiempo, forma para los matemáticos una variedad cuadrimensional real.

En la teoría de Newton, la representación matemática del tiempo concuerda con nuestros conceptos intuitivos: cada evento tiene una posición temporal única, independiente del movimiento del sistema de referencia. La simultaneidad de dos eventos distantes, una vez constatada en cierto sistema referencial, puede ser extendida sin ambiguedad a todos los otros. Además, la teoría newtoniana postula que existe un sistema de referencia privilegiado, que está en reposo absoluto (SA). Cuando no intervienen fuerzas que dependen de la velocidad, ni la dinámica, ni la teoría gravitatoria de Newton pueden distinguir el SA de los infinitos sistemas de referencia que se mueven con velocidad uniforme respecto de este, los llamados sistemas de referencia inerciales, que guardan entre ellos una relación de equivalencia conocida como principio de relatividad de Galileo.

El origen de la relatividad especial - que contó con una significativa contribución de Henrí Poincaré, Hermann Minkowski y Hendrík Lorentz - fue la necesidad de conciliar el espacio-tiempo de la mecánica de Newton con las famosas ecuaciones de Maxwell que, en la segunda mitad del siglo XIX, sirvieron para unificar la electricidad y el magnetismo. Dichas ecuaciones poseen una solución que describe ondas electromagnéticas con velocidad c, igual a 3 x 108m/s. Para Maxwell y sus contemporáneos, sólo tenía sentido hablar de esa velocidad relacionándola con un medio natural, el éter, que ocuparía todo el espacio y permanecería en reposo absoluto, como soporte material del SA de Newton. Entonces parecía que la velocidad de la luz no sería c cuando se la midiera en un sistema de referencia en movimiento con respecto del éter. Las experiencias que se idearon para demostrarlo - y de esa forma consolidar la coherencia de la teoría - generaron un nuevo (e inmenso) problema: la velocidad de la luz insistía en mostrarse invariante con relación a cualquier sistema de referencia. Creció asi una brecha entre dos teorías físicas consagradas, la electromagnética y la mecánica.

Para zanjar la dificultad (y otras más complejas), Einstein partió de una conjetura que, elevada después por él mismo a la condición de postulado, recibió el nombre de principio de la relatividad: en todos los sistemas inerciales de referencia deben ser válidas, por lo menos en primera aproximación, tanto las leyes de la mecánica como las de la electrodinámica y las de la óptica. Los textos actuales generalizan este principio a todos los fenómenos físicos: las leyes fisicas no privilegian un sistema inercial particular.

Además del anterior, la relatividad adoptó un segundo postulado, acerca del modo de propagación de las ondas electromagnéticas (simplificando, la luz): en cualquier sistema inercíal, el tiempo que la luz necesita para ir de un punto A a otro B no depende del movimiento de A. Dentro de ciertos limites experimentales, este postulado tiene soporte empírico, pues la salida simultánea de A de dos rayos de luz, uno de una fuente quieta y otro de una en movimiento, confirma la hipótesis para un receptor ubicado en B.

Cualquier laboratorio instalado en un sistema de referencia inercial necesita estar equipado con aparatos destinados a efectuar mediciones, llamémoslos reglas y relojes. Las primeras determinan las relaciones espaciales; los segundos, las temporales. Con la relatividad se planteó por primera vez la pregunta: ¿qué tiempo? La respuesta es: aquel del punto del espacio donde se encuentre la regla.

Para Newton - y nuestro sentido común - dos relojes perfectos, una vez sincronizados, permanecerán en fase para siempre, independientemente de las trayectorias que posteriormente siguiesen. Hoy sabemos, con respaldo experimental, que los relojes no se comportan de acuerdo con las intuiciones del sentido común, de modo que el método de sincronizar relojes ubicados en diferentes puntos del espacio llevando de uno a otro un reloj patrón no es una operación simple ni bien definida. ¿Cómo podemos realizar, entonces, la sincronización? O, en otras palabras, ¿cómo podemos definir simultaneidad de eventos que ocurren en puntos diferentes del espacio?

La respuesta de Einstein se basa en una señal que responda al segundo postulado definido unos párrafos antes. En un sistema inercial, si deseáramos sincronizar dos relojes (A y B) separados por la distancia d (medida yuxtaponiendo las reglas-patrón), enviaríamos desde A una señal luminosa que, al llegar a B, arrancaria allí un reloj y sería reflejada hacia el punto del que partió. El observador situado en A registraría el tiempo de ida y vuelta de la luz (T) e indicaría a su colega en B que llamase T/2 al momento en que el reloj de este comenzara a funcionar. Con este procedimiento, los relojes A y B quedarían sincronizados à la mode d'Einstein. En cualquier sistema inercial dotado de relojes - patrón y reglas - patrón idénticos, el procedimiento descripto determina siempre que la velocidad de la luz es 3 x 108m/s, como lo indica la figura, que describe también las importantes transformaciones de Lorentz.

fig70.gif (14119 bytes)


¿CÓMO ES POSIBLE QUE, CON RELACIÓN A CUALQUIER SISTEMA INERCIAL, LA VELOCIDAD DE LA LUZ SEA SIEMPRE IGUAL A 3 x 108M/S?
SUPONGAMOS QUE s.gif (894 bytes)Y S SEAN DOS LABORATORIOS INERCIALES QUE SE MUEVEN CON VELOCIDAD y CONSTANTE UNO RESPECTO DEL OTRO.
AMBOS ESTÁN EQUIPADOS CON RELOJES SINCRONIZADOS À L'EINSTEIN, y COINCIDEN EN T = t = 0.
EN s.gif (894 bytes)  LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO DE UNA SEÑAL LUMINOSA EMITIDA EN T= 0 SE ESCRIBE c²T² - X² - Z² = 0.
EN S, LA ECUACIÓN DE LA MISMA SEÑAL LUMINOSA EMITIDA EN T=0 SE ESCRIBE c²T² - X² - Y² - Z² = 0.

TALES ECUACIONES (MÁS ALGUNAS HIPÓTESIS RAZONABLES) IMPLICAN QUE LAS RELACIONES ENTRE, POR UN LADO, LOS TIEMPOS t y T y, POR EL OTRO, LAS COORDENADAS x y X, NO PUEDEN SER LAS QUE SE UTILIZAN EN LA TEORÍA NEWTONIANA DEL ESPACIO-TIEMPO. DE HECHO, SE PUEDE MOSTRAR QUE LAS ECUACIONES QUE RELACIONAN LAS COORDENADAS DE UN EVENTO e EN s.gif (894 bytes) Y S, DE FORMA TAL QUE LAS RELACIONES ANTERIORES SE CUMPLAN, SON:

formula.gif (3909 bytes)NÓTESE QUE e = (T, X, Y, Z) EN s.gif (894 bytes) Y e º (t,x, y, z) EN S.
ESTAS SON LAS RELACIONES DE LORENTZ, QUE NOS PERMITEN PARTIR DE LAS MEDICIONES EFECTUADAS POR UN OBSERVADOR Y CALCULAR LAS QUE HARÍA OTRO, CUYO MOVIMIENTO CON RELACIÓN AL PRIMERO FUESE CONOCIDO. PARA c
® ¥ (O PARA v/c <<1), SE REDUCEN A LAS CONOCIDAS TRANSFORMACIONES DE GALILEO (x = X - vt; T=t; y = Y; z =Z), USADAS EN LA TEORÍA NEWTONIANA DEL ESPACIO -TIEMPO Y EN NUESTROS CÁLCULOS COTIDIANOS, QUE VERSAN SOBRE SISTEMAS CON VELOCIDADES RELATIVAS PEQUEÑAS, COMPARADAS CON LA DE LA LUZ.

Tanto el principio de relatividad como las transformaciones de Lorentz tienen consecuencias interesantísimas. Sólo señalaremos una: 
dos eventos distintos (e1 y e2), simultáneos en el sistema de referencia s.gif (894 bytes) (T1 = T2), pueden no ser simultáneos cuando se los determina en s (t1 t2). Obviamente, también las distancias espaciales entre los eventos |
Dx| (en s.gif (894 bytes)) y |Dx| (en s) son, en general, diferentes. Con todo, el
intervalo espacio-temporal |
Dx|² = c²|Dt|²-|Dx|² es invariante.